Ejemplo
Opción 2 (con ayudante):
Por tanto, perdemos 2·(10€/h) = 20€/h debido a la espera de los mecánicos, Pero también perdemos 4€/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las pérdidas totales son 24€/h
En la opción 1 perdemos 50€/h y en la opción 2 perdemos 24€/h, con lo cual la más ventajosa es la opción 2,
Más medidas de rendimiento
El número medio de trabajos en la cola Lq, se calcula restándole a L el número medio de trabajos que están siendo servidos:
Probabilidad de que un cliente que llega pase más de t unidades de tiempo en el sistema:
Probabilidad de que un cliente que llega pase más de t unidades de tiempo en la cola:
Ejemplos
Ejemplo: Un canal de comunicación se usa para enviar datos desde unos ordenadores fuente a uno central, Cada fuente envía paquetes de datos según un proceso de Poisson de razón 2 paquetes/seg, Además cada fuente envía independientemente de las otras, Todos los paquetes son idénticos, esperan en una cola común y después se transmiten de uno en uno, Los tiempos de transmisión se distribuyen exponencialmente, con media 25 mseg, Determinar el número máximo de fuentes que se pueden conectar al canal de tal manera que:
Ejemplos
1º El canal no se sature
Si tenemos k fuentes, llegarán a la cola 2k paquetes/seg, Por otro lado, 1/? = 0,025 seg ? ? = 40 paquetes/seg
El canal no se satura cuando ?<1:
Ejemplos
2º En media los paquetes no pasen en el sistema más de 100 mseg
Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos ? = 40 paquetes/seg
Nos exigen W?0,1 seg:
Ejemplos
3º En el estado estacionario se garantice que al menos el 95% de los paquetes tenga un tiempo de respuesta que no exceda de 100 mseg
Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos ? = 40 paquetes/seg
Nos exigen que la probabilidad de que un paquete pase más de 100 mseg en el sistema sea inferior al 5%, es decir, W(100 mseg)?0,05:
Ejemplos
Ejemplo: Supongamos que una cola M|M|1 con parámetros ? y ? se sustituye por n colas M|M|1 independientes de parámetros ?/n y ?/n, Es decir, dividimos la carga de trabajo y la capacidad de proceso en n partes iguales, Evaluar el efecto del cambio usando como medidas de rendimiento el tiempo medio de respuesta y el número medio de trabajos en el sistema
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?/n
(Gp:) ?/n
(Gp:) ?/n
(Gp:) ?/n
…
Ejemplos
Alternativa 1 (una sola cola), ?1=?, ?1= ? :
Alternativa 2 (n colas independientes), ?2=?/n, ?2=?/n :
Ejemplos
Como la alternativa 1 tiene menores valores para ambas medidas de rendimiento, concluimos que la dicha alternativa es mejor
Esto nos indica que lo mejor es no dividir la capacidad de procesamiento, es decir, tener un único servidor que atienda a todos los clientes
Teorema de Little
Sea un sistema de colas con cualquier distribución de llegadas y servicios y cualquier estructura, Sean L el número de trabajos presentes en el sistema en el estado estacionario, W es tiempo medio de respuesta en el estado estacionario y ? la razón de llegadas al sistema, Entonces:
Teorema de Little
Explicación intuitiva: Supongamos que cobramos 1€ a cada trabajo por cada unidad de tiempo que pasa en el sistema, Habría dos maneras equivalentes de medir las ganancias:
Colocando un recaudador a la entrada del sistema, le cobrará como media W a cada uno de los ? trabajos que vea pasar por unidad de tiempo
Cada vez que transcurre una unidad de tiempo, cobro 1 € a cada uno de los L trabajos que como media hay en ese instante en el sistema
Teorema de Little
Si aplico el teorema a la cola, dejando fuera del sistema al servidor, obtengo el siguiente resultado, también muy útil:
Las dos fórmulas obtenidas nos sirven para ayudarnos a obtener los valores de las medidas de rendimiento, aunque necesitaremos otras ecuaciones para poder conseguir resultados explícitos
Descripción del modelo
Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y c servidores, La disciplina será FIFO
Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón ?, donde ? es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/? es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp(?)
Los tiempos de servicio también se distribuirán exponencialmente, Exp(?), de tal manera que ? es el número medio de clientes que cada servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/? es el tiempo medio de servicio
Cola M | M | c
Condición de no saturación
Se demuestra que si ??c?, el sistema se satura, es decir, el número de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condición de no saturación será:
Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se saturan, Cuando una cola no se satura, también se dice que alcanza el estado estacionario,
Probabilidades
Suponiendo que el sistema no se satura, se deducen las siguientes fórmulas para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde n?N:
Medidas de rendimiento
Número medio de clientes en cola:
Usamos razonamientos ya vistos para obtener:
Otras medidas de rendimiento
Número medio de servidores ocupados, S, En el estado estacionario, la razón de las salidas será igual a la razón de las llegadas:
Probabilidad de que un trabajo tenga que esperar para recibir su servicio (fórmula de retraso de Erlang):
Ejemplos
Ejemplo: Usando L como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?/2
(Gp:) ?/2
Alternativa 1:
Alternativa 2:
Ejemplos
Alternativa 1:
Alternativa 2:
Ejemplos
Ejemplos
Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de cumplirse que L1<1 siempre se cumple, tendremos que la alternativa 1 siempre es mejor, Es decir, no conviene dividir la capacidad de procesamiento en dos servidores
<1 siempre se cumple, tendremos que la alternativa 1 siempre es mejor, Es decir, no conviene dividir la capacidad de procesamiento en dos servidores
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